Regla de l'Hôpital

En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.


La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminaciones del tipo ó .

Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠ c .
Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lo tanto,

Funcion Implicita

Una función y(x) se llama implícita cuando está definida de la forma F(x, y) = 0 en lugar de la habitual.
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de entre las variables x e y:

 

Para poder derivar una función implícita se usa la regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función , implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: .
Si consideramos es una función en términos de la variable independiente x y es una función en términos de la variable dependiente y, dado que , entonces para obtener la derivada:

Regla de la cadena

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Regla de los 4 pasos

En geometría, la derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abcisas, en ese punto.
El incremento Dx de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así, pues,
Si se da un incremento Dx a la variable x será a partir del valor y = f (x0).

Ejercicio resuelto mediante la derivación de los 4 pasos. 

Ejemplo 1:  Y = x³ + 2x² – 3x – 1

Regla 1. Incrementar las 2 variables (Variables X y Y). Acá se les pone el Incremento Delta (∆) representado por un triangulo a cada variable.

Y + ∆y = (x + ∆x)³ + 2(x + ∆x)² – 3(x + ∆x) – 1

Regla 2. Desarrollar operaciones algebraicas y restarle la función original. Algebraicamente se desarrolla la ecuación (ej. binomios, trinomios) y terminado se le restará la función original al resultado.

Y + ∆y = (x + ∆x)³ + 2(x + ∆x)² – 3(x + ∆x) – 1
Y + ∆y = (x³ + 3x²∆x + 3x∆x² + ∆x³) + 2(x² + 2x∆x + ∆x²) – 3x – 3∆x – 1
Y + ∆y = x³ + 3x²∆x + 3x∆x² + ∆x³ + 2x² + 4x∆x + 2∆x² – 3x – 3∆x – 1

 ∆y = 3x²∆x + 3x∆x² + ∆x³ + 4x∆x + 2∆x² – 3∆x

Paso 3. Obtener la razón dividiendo la función incrementada por ∆x. Es decir, dividir cada elemento entre ∆x para así eliminar valores delta (∆x)


∆y/∆x = 3x² + 3x∆x + ∆x² + 4x + 2∆x – 3

Paso 4. Sustituir ∆x cuando tiende a 0 que es el límite de la función. Sustituiremos todos los ∆x por [0] en toda la ecuación y se multiplicara (Variable multiplicada por 0 da 0)

∆y/∆x = 3x² + 3x[0] + [0]² + 4x + 2[0] – 3
∆y/∆x = 3x² + 4x – 3

Este es el resultado final de una derivación mediante la regla de los 4 pasos para derivar una ecuación.

Derivada

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se produce sobre una magnitud.

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′.

 

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en rojo; la tangente a la curva está dibujada en verde).

Definicion de la recta tangente con pendiente m

Si f esta definida en un intervalo abierto que contiene a "C" y ademas existe:

  lim         Δy/Δx=   lim      f(c+Δx)-f(c)/Δx= m
Δx-->0                   Δx-->0

entonces la recta que pasa por (c,f(c)) y cuenta con una pendiente m es la recta tangente a la grafica de f en el punto (c,f(c)).

Ejemplos Derivadas Trigonometricas

1.-f(x)= sen 4x
f '(x)= 4 cos 4x

2.-f(x)= cos (3x^2+x-1)
f '(x)= -(6x+1) sen (3x^2+x-1)

3.-f(x)= tg   x
f '(x)= (1/2x)(1/cos^2 x)= 1/(2x) (cos^2 x)

4.-f(x)= cotg 4x^2
f '(x)= - 8x/sen^2 4x^2

5.-f(x)= sec 5x
f '(x)= (5) (sen 5x)/(cos^2 5x)

6.-f(x)= cosec x/2
f '(x)= - (cos x/2)/(2) (sen^2 x/2)

Formulario de Derivadas Trigonometricas

Derivada del seno de una funcion

1. d/dx(sen x)= (cos x)
2. d/dx(sen u)= (cos u) (d/dx u)
3. d/dx(sen^m u)= (m) (sen ^m-1 u) (cos u) (d/dx u)

Derivada del coseno de una funcion

1. d/dx(cos x)= (-sen x)
2. d/dx(cos u)= (-sen u) (d/dx u)
3. d/dx(cos^m u)= (m) (cos^m-1 u) (sen u) (d/dx u)

 Derivada de la tangente de una funcion

1. d/dx(tan x)= (sec^2 u)
2. d/dx(tan u)= (sec^2 u) (d/dx u)
3. d/dx(tan^m u)= (m) (tan^m-1 u) (sec^2 u) (d/dx u)

Derivada de la cotangente de una funcion

1. d/dx(cot x)= (-csc^2 x)
2. d/dx(cot u)= (-csc u) (d/dx u)
3. d/dx(cot^m u)= (-m) (cot^m-1 u) (csc^2 u) (d/dx u)

Derivada de la secante de una funcion

1. d/dx(sec x)= (tan x) (sec x)
2. d/dx(sec u)= (tan u) (sec u) (d/dx u)
3. d/dx(sec^m u)= (m) (sec^m-1 u) (tan u) (d/dx u)

Derivada de la cosecante de una funcion

1. d/dx(csc x)= (-cot x) (csc x)
2. d/dx(csc u)= (-cot u) (csc u) (d/dx u)
3. d/dx(csc^m u)= (-m) (csc^m-1) (cot u) (d/dx u)

Derivacion de Funciones Trigonometricas

La derivacion de las funciones trigonometricas es el proceso matematico de encontrar el ritmo al cual una funcion trigonometrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la funcion. Las funciones trigonometricas mas habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x).

Tipo de funcion

| Funcion | Derivada       |
| sin(x)     | cos(x)           |
| cos(x)    | -sin(x)           |
| tan(x)    |  sec^2(x)       |
| cot(x)    | -csc^2(x)       |
| sec(x)    | sec(x) tan(x) |
| csc(x)    | -csc(x) cot(x)|

Derivada de la funcion seno
f(x)= sen u                    f '(x)= (-u') (sen u)

Derivada de la funcion coseno
f(x)= cos u                   f '(x)= (-u') (sen u)

Derivada de la funcion tangente
f(x)= tg u                     f '(x)= u'/cos^2 u= (u') (sec^2 u)= (u') (1+tg^2 u)

Derivada de la funcion cotangente
f(x)= cotg u                 f '(x)= u^2/sen^2 u= (-u^2) (cosec^2 u)= (-u^2) (1+cotg^2 u)

Derivada de la funcion secante
f(x)= sec u                  f '(x)= (u') (sen u)/cos^2 u= (u') (sec u) (tg u )

Derivada de la funcion cosecante
f(x)= cosec u              f '(x)= -(u') (cos u)/sen^2 u= (-u') (cosec u) (cotg u)