Infinitesimos

Una sucesión a_n es un infinitésimo si es una sucesión convergente que tiene por límite cero.

lim a_n = 0

 

Ejemplo:

Las sucesiones:

son infinitésimos porque:

Propiedades de los infinitésimos

1. La suma de dos infinitésimos es un infinitésimo.

2. El producto de un infinitésimo por una sucesión acotada es un infinitésimo.

3. El producto de infinitésimos es un infinitésimo.

4. El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.

5.Si una sucesión a_n converge a L, la sucesión (a_n − L) es un infinitésimo.

6. Si una sucesión a_n es divergente, su inversa es un infinitésimo.

Limite Infinito

Límite infinito de una sucesión

Se dice que una sucesión a_n tiene por límite +∞ cuando para toda M>0 existe un término a_k, 

a partir del cual todos los términos de a_n, siguientes a a_k cumplen que a_n> M.

Vamos a comprobar que el límite de la sucesión a_n= n² es +∞.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

Si tomamos M = 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a₁₀₁ superará a 10 000.

a₁₀₁= 101² = 10 201

Se dice que una sucesión a_n tiene por límite − ∞ cuando para toda N >0 existe un término a_k, 

a partir del cual todos los términos de a_n, siguientes a a_k cumplen que a_n < −N.

Vamos a comprobar que el límite de la sucesión a_n= −n² es −∞.

−1, −4, −9, −16, −25, −36, −49, ...

Si tomamos N= 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a₁₀₁ superará a −10 000.

a₁₀₁= −101² = −10 201

 

Sucesiones convergentes

Son las que tienen límite finito.

 

Sucesiones divergentes

Son las que tienen límite infinito (+∞ ó − ∞).

 

Sucesiones oscilantes

No son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.

1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...

 

Sucesiones alternadas

Son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser:

 

Convergentes

1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..

Tantos los términos pares como los impares tienen de límite 0.

 

Divergentes

1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ...

Tantos los términos pares como los impares tienden de límite +∞.

 

Oscilantes

−1, 2, −3, 4 ,−5, ..., (−1)ⁿ n

Como factorizar diferencias de cubos

Diferencia de cubos

 

Se llama diferencia de cubos a un binomio de la forma a3 – b3 en donde a y b son números reales. Las siguientes expresiones son ejemplos de diferencias de cubos:

1) 27 – x3

 

2) m6 – n9

 

3) a12 – 1

 

Factorización de una diferencia de cubos

 

La factorización de una diferencia de cubos a3 – b3 es el producto de un binomio y un trinomio a3 – b3= (a – b ) ( a2+ ab + b2)

 

 

El binomio es la diferencia de las raíces cúbicas de cada término de la

diferencia de cubos y el trinomio es muy semejante a un trinomio cuadrado

perfecto, pero el término cruzado no es multiplicado por dos.

Propiedades de los limites

Si b y c son números reales y n es un entero, entonces decimos que límite de b (lim b=b x--->c)

Ejemplo:
lim k=k
x--->a

lim 8=8
x--->4

lim -3=-3
x--->0

lim 22=22
x--->-3

Limite de x=c
lim x=c
x--->c

Ejemplo:

lim x=3
x--->3

lim x=-4
x--->-4

lim x=3/5
x--->3/5

Elevado a una potencia

lim x^n=c^n
x--->c

Ejemplo:

lim x^3=(2)^3=8
x--->2

lim x^4=(2)^4=(2)(2)(2)(2)=16
x--->2

lim x^3=-27
x--->-3

Si b y c son números reales, n es un entero positivo y f y g son funciones que tienen límite cuando x--->c entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1.-Multiplo Escalar- lim [b (f(x))]=b [lim f(x)]
                                  x--->c            x--->c
2.-Suma o Diferencia- lim [f(x)+-g(x)]= lim f(x) +- lim g(x)
                                     x--->c                  x--->c        x--->c
3.-Producto- lim[f(x) o g(x)]=[lim f(x)] [lim g(x)]
                     x--->c                 x--->c       x--->c
4.-Cociente- lim f(x)/g(x)= lim f(x)/lim g(x)
                     x--->c             x--->c   x--->c
5.-Potencia- lim [f(x)]^n= [lim f(x)]^n
                     x--->c            x--->c

Ejemplo: lim (4x^3+2x^2+x+2)
                x--->2
lim 4x^3 + lim 2x^2 + lim x+ lim 2
x--->2        x--->2        x-->2   x--->2

lim 4(2)^3 + lim 2(2)^2 + lim (2) + lim 2
x--->2           x--->2           x--->2     x--->2

4(8) + 2(4) + 2 + 2

32 + 8 + 2 + 2= 44

Limites Laterales

Diremos que el limite de f(x) cuando x tiende hacia "a" por la izquierda es "L"

lim f(x)=L
x---> a-

Diremos que el elimite de f(x) cuando x tiende hacia "a" por la derecha es "L"

lim f(x)=L
x--->a+

Ejemplo

f(x)={x^2 si x<2}
         {4 si x>2}



lim f(x)=x^2                  lim f(x)=4
x---> 2-                          x--->2+
f(x)=4                            =4                               
f(x)

L=a+
x--->2, es L=4
L=4

Limites

El limite de una funcion f(x) en el punto Xo es el valor al que se acercan las imagenes (las  y) cuando los originales (las x) se acercan al valor Xo es decir el valor al que tienden las imagenes cuando los originales tiended a Xo.

Limite de la funcion f(x)=x^2
en Xo=2

 X         f(x)
1.9       3.61
1.99     3.9601
1.999   3.996001
1.9999 3.99960001
2          4


Se dice que la funcion f(x) tiene como limite el numer L cuando x tiende a Xo, si fijando un número real positivo, mayor que cero, existe un número positivo, dependiente del número real, tal que para todos los valores de x distintos de Xo que cunplan la condicion |f(x)-L| < R

Podemos definir el concepto de limite con la siguiente formula:
lim f(x)=L
x--->Xo

Tipos de funciones

Función Inyectiva

En algebra abstracta, una funcion f: X --> Y es inyectiva si a elementos distintos del conjunto X (dominio) les corresponden elementos distintos del conjunto Y (imagen) de f. Es decir, cada elemento del conjunyo Y tiene a lo sumo una antiimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales f: R --> R, dada por f(x)= x^2 no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f(-2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función g: R+ --> R+ entonces si se obtiene una función inyectiva.

Función Suprayectiva

En, matemática, una función f: X --> Y es suprayectiva, si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como minimo un elemento de "X".

Función Biyectiva

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva; es decir si todos los elementos del conjunto de sálida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de sálida.

Funciones Trascendentes.- Conceptos y cuales son

La variable independiente figura como exponente o como indice de la raiz o se alla afectada del signo logaritmico o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometria.

Funcion exponencial
f(x)=a^x; sea a un numero real positivo. La funcion que a cada numero real x le hace corresponder la potencia a^x se llama funcion exponencial

La funcion logaritmica en base a es la funcion inversa de la exponencial en base a f(x)=Log ax

Funciones Trigonometricas
f(x)= sen x = funcion seno
f(x)= cos x = funcion coseno
f(x)= tg x = funcion tangente
f(x)= cosec x = funcion cosecante
f(x)= sec x = funcion secante
f(x)= cotg x = funcion cotangente

Funciones inversas.- Concepto y pasos

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f⁻¹ que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.

Podemos observar que:

El dominio de f⁻¹ es el recorrido de f.

El recorrido de f⁻¹ es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

(f o f ⁻¹) (x) = (f ⁻¹ o f) (x) = x

Las gráficas de f y f ^-1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Ejemplos:
1.- f(x)= 3x+2

X  Y
-2 -4
-1 -1
 0  2
 1  5
 2  8
 3 11
 4 14

 

 2.- f(x)= 6x^2+7+2

X   Y
-3  63
-2  33
-1  15
 0   9
 1  15
 2  33

 

Hay que distinguir entre la función inversa, f⁻¹(x), y la inversa de una función, .

Cálculo de la función inversa

1Se escribe la ecuación de la función con x e y.

2Se despeja la variable x en función de la variable y.

3Se intercambian las variables.

Calcular la función inversa de:

 Vamos a comprobar el resultado para x = 2

Definicion de funciones crecientes y decrecientes

Creciente
Es creciente una funcion f en un intervalo si para cualquier par de numeros x1, x2 del intervalo
x1<x2 si solo si f(x1) < f(x2).

Decreciente
Una funcion f es decreciente en un intervalo si para cualquier par de numeros x1, x2 del intervalo
x1< x2 si solo si f(x1)>f(x2).

Creciente
Si x1<x2, entonces f(x1)<f(x2)

 Decreciente
Si x1>x2, entonces f(x1)>f(x2)

Una funcion, puede ser creciente y decreciente al mismo tiempo en diferentes intervalos, tambien pueder decirse que es creciente hacia la izquierda o derecha, lo mismo cuando hablamos de funciones decrecientes .

Funciones monotonas (definicion y ejemplo)

Una funcion entre conjuntos ordenados se dice monotona (o isotona) si conserva el orden dado. En calculo se habla de funciones monotonamente crecientes y monotonamente decrecientes (o simplemente crecientes y decrecientes), en la teoria del orden, se usan los terminos monotona y antitona, o se habla de funciones que conservan e invierte el orden.

La funcion f es monotona si y solo si x=y implica f(x)<f(y) (es decir, la funcion es creciente), ó bien x<y implica f(x)>f(y) (es decir, la funcion es decreciente). En otras palabras, una funcion es monotona si conserva el orden.

Nota:
Cuando no tiene concavas se puede decir que son monotonas, ya que no son momentaneamente crecientes o decrecientes.

Cuando tiene concavas se puede decir que es una funcion no monotona.

Funcion monotona creciente:



Funcion monotona decreciente:

 Funcion no monotona:

Funciones pares e impares

Funcion par. En la figura siguiente se muestra el efecto de simetria para una funcion par; en todo el dominio de x.

Condicion: f(-x) = f(x)

 

Funcion impar. Una funcion impar (presenta simetria con respecto al origen). En la figura siguiente se muestra el efecto de simetria con el origen para una funcion impar, en todo el dominio de x.

Condicion: f(-x) -f(x)

 

Ejemplo:

f(x)= x^3-3x^2; [-1,3]

X  Y

-1 -4

 0  0

1  -2

2  -4

3  0

 

¿Qué es, función, dominio, contradominio?

Función.- Es aquella donde f es representada por dos conjuntos A,B donde entre ellos existe una regla de correspondencia, que a cada elemento de A se le asocia un único de B ejemplo:

A          B

1 -------- 2

2 -------- 4

3 -------- 6

4 -------- 8

Al conjunto A se le denomina Dominio de una función y al conjunto B Contradominio de una función. Una función consta de dos conjuntos llamados dominio y contradominio.

Dominio.- Todos los valores que contiene el conjunto A ó valores de X.

Contradominio.- Todos los valores que contienen al conjunto B ó a los valores de "y".