Portafolio de Evidencias de Calculo Diferencial

En este blog, me dedicare a subir los trabajos de calculo diferencial en la carrera de mecatrónica en el grupo B del instituto tecnologico de matamoros.

Alumno: José Emanuel García Martínez
No. de control: 13260981

Maestra: Ing. Patricia Bedolla Azuara

viernes, 22 de noviembre de 2013

Regla de l'Hôpital

En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.


La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminaciones del tipo  \frac{0}{0} ó \frac{\infty}{\infty} .

Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si xc .
Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lo tanto,


   \lim_{x \to c}{f(x)\over g(x)} =
   \lim_{x \to c}{f'(x) \over g'(x)}

Funcion Implicita

Una función y(x) se llama implícita cuando está definida de la forma F(x, y) = 0 en lugar de la habitual.
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de \mathbb{R}^2 entre las variables x e y:

 y^3 + y^2 + 5xy + x^2 + x + y = 0 \,


 
Para poder derivar una función implícita se usa la regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función  F(x,y) \,, implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x:  \frac{dy}{dx} = f'(x) .
Si consideramos  y = f \left ( x \right ) es una función en términos de la variable independiente x y  G \left ( y \right ) es una función en términos de la variable dependiente y, dado que  y = f \left ( x \right ) , entonces para obtener la derivada:
 D_x \left ( G \left ( y \right ) \right ) = D_x \left ( G \left ( f \left ( x \right ) \right ) \right ) = G' \left ( f \left ( x \right ) \right ) \left ( f' \left ( x \right ) \right )

Regla de la cadena


Creditos a Tareasplus

Regla de los 4 pasos

En geometría, la derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abcisas, en ese punto.
El incremento Dx de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así, pues,
Si se da un incremento Dx a la variable x será a partir del valor y = f (x0).


Ejercicio resuelto mediante la derivación de los 4 pasos. 

Ejemplo 1:  Y = x3 + 2x2 – 3x – 1

Regla 1. Incrementar las 2 variables (Variables X y Y). Acá se les pone el Incremento Delta (∆) representado por un triangulo a cada variable.

Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1

Regla 2. Desarrollar operaciones algebraicas y restarle la función original. Algebraicamente se desarrolla la ecuación (ej. binomios, trinomios) y terminado se le restará la función original al resultado.

Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1
Y + ∆y = (x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3) + 2(x2 + 2x∆x + ∆x2) – 3x – 3∆x – 1
Y + ∆y = x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 2x2 + 4x∆x + 2∆x2 – 3x – 3∆x – 1

 ∆y = 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 4x∆x + 2∆x2 – 3∆x

Paso 3. Obtener la razón dividiendo la función incrementada por ∆x. Es decir, dividir cada elemento entre ∆x para así eliminar valores delta (∆x)


∆y/∆x = 3x2 + 3x∆x + ∆x2 + 4x + 2∆x – 3

Paso 4. Sustituir ∆x cuando tiende a 0 que es el límite de la función. Sustituiremos todos los ∆x por [0] en toda la ecuación y se multiplicara (Variable multiplicada por 0 da 0)

∆y/∆x = 3x2 + 3x[0] + [0]2 + 4x + 2[0] – 3
∆y/∆x = 3x2 + 4x – 3

Este es el resultado final de una derivación mediante la regla de los 4 pasos para derivar una ecuación.

Derivada

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se produce sobre una magnitud.

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′.
File:Derivada cero 11b.svg 
La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en rojo; la tangente a la curva está dibujada en verde).

miércoles, 13 de noviembre de 2013

Definicion de la recta tangente con pendiente m

Si f esta definida en un intervalo abierto que contiene a "C" y ademas existe:

  lim         Δy/Δx=   lim      f(c+Δx)-f(c)/Δx= m
Δx-->0                   Δx-->0

entonces la recta que pasa por (c,f(c)) y cuenta con una pendiente m es la recta tangente a la grafica de f en el punto (c,f(c)).




Ejemplos Derivadas Trigonometricas

1.-f(x)= sen 4x
f '(x)= 4 cos 4x

2.-f(x)= cos (3x^2+x-1)
f '(x)= -(6x+1) sen (3x^2+x-1)

3.-f(x)= tg   \sqrt{\ }x
f '(x)= (1/2\sqrt{\ }x)(1/cos^2 \sqrt{\ }x)= 1/(2\sqrt{\ }x) (cos^2 \sqrt{\ }x)

4.-f(x)= cotg 4x^2
f '(x)= - 8x/sen^2 4x^2

5.-f(x)= sec 5x
f '(x)= (5) (sen 5x)/(cos^2 5x)

6.-f(x)= cosec x/2
f '(x)= - (cos x/2)/(2) (sen^2 x/2)

Formulario de Derivadas Trigonometricas

Derivada del seno de una funcion
  1. d/dx(sen x)= (cos x)
  2. d/dx(sen u)= (cos u) (d/dx u)
  3. d/dx(sen^m u)= (m) (sen ^m-1 u) (cos u) (d/dx u)
Derivada del coseno de una funcion
  1. d/dx(cos x)= (-sen x)
  2. d/dx(cos u)= (-sen u) (d/dx u)
  3. d/dx(cos^m u)= (m) (cos^m-1 u) (sen u) (d/dx u)
 Derivada de la tangente de una funcion
  1. d/dx(tan x)= (sec^2 u)
  2. d/dx(tan u)= (sec^2 u) (d/dx u)
  3. d/dx(tan^m u)= (m) (tan^m-1 u) (sec^2 u) (d/dx u)
Derivada de la cotangente de una funcion
  1. d/dx(cot x)= (-csc^2 x)
  2. d/dx(cot u)= (-csc u) (d/dx u)
  3. d/dx(cot^m u)= (-m) (cot^m-1 u) (csc^2 u) (d/dx u)
Derivada de la secante de una funcion
  1. d/dx(sec x)= (tan x) (sec x)
  2. d/dx(sec u)= (tan u) (sec u) (d/dx u)
  3. d/dx(sec^m u)= (m) (sec^m-1 u) (tan u) (d/dx u)
Derivada de la cosecante de una funcion
  1. d/dx(csc x)= (-cot x) (csc x)
  2. d/dx(csc u)= (-cot u) (csc u) (d/dx u)
  3. d/dx(csc^m u)= (-m) (csc^m-1) (cot u) (d/dx u)

Derivacion de Funciones Trigonometricas

La derivacion de las funciones trigonometricas es el proceso matematico de encontrar el ritmo al cual una funcion trigonometrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la funcion. Las funciones trigonometricas mas habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x).

Tipo de funcion

| Funcion | Derivada       |
| sin(x)     | cos(x)           |
| cos(x)    | -sin(x)           |
| tan(x)    |  sec^2(x)       |
| cot(x)    | -csc^2(x)       |
| sec(x)    | sec(x) tan(x) |
| csc(x)    | -csc(x) cot(x)|

Derivada de la funcion seno
f(x)= sen u                    f '(x)= (-u') (sen u)

Derivada de la funcion coseno
f(x)= cos u                   f '(x)= (-u') (sen u)

Derivada de la funcion tangente
f(x)= tg u                     f '(x)= u'/cos^2 u= (u') (sec^2 u)= (u') (1+tg^2 u)

Derivada de la funcion cotangente
f(x)= cotg u                 f '(x)= u^2/sen^2 u= (-u^2) (cosec^2 u)= (-u^2) (1+cotg^2 u)

Derivada de la funcion secante
f(x)= sec u                  f '(x)= (u') (sen u)/cos^2 u= (u') (sec u) (tg u )

Derivada de la funcion cosecante
f(x)= cosec u              f '(x)= -(u') (cos u)/sen^2 u= (-u') (cosec u) (cotg u)

domingo, 27 de octubre de 2013

Infinitesimos

Una sucesión an es un infinitésimo si es una sucesión convergente que tiene por límite cero.

lim an = 0
 
Ejemplo:

Las sucesiones:

infinitésimos


son infinitésimos porque:

límite
límite
límite

Propiedades de los infinitésimos

1. La suma de dos infinitésimos es un infinitésimo.

2. El producto de un infinitésimo por una sucesión acotada es un infinitésimo.

3. El producto de infinitésimos es un infinitésimo.

4. El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.

5.Si una sucesión an converge a L, la sucesión (an − L) es un infinitésimo.

6. Si una sucesión an es divergente, su inversa es un infinitésimo.

Limite Infinito

Límite infinito de una sucesión

Se dice que una sucesión an tiene por límite +∞ cuando para toda M>0 existe un término ak
a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an> M.

llímite en el infinito

Vamos a comprobar que el límite de la sucesión an= n2 es +∞.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

infinito

Si tomamos M = 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a 10 000.
a101= 1012 = 10 201

Se dice que una sucesión an tiene por límite − ∞ cuando para toda N >0 existe un término ak
a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an < −N.

llímite en el infinito

Vamos a comprobar que el límite de la sucesión an= −n2 es −∞.
−1, −4, −9, −16, −25, −36, −49, ...
Límite en el infinito

Si tomamos N= 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a −10 000.
a101= −1012 = −10 201

 

Sucesiones convergentes


Son las que tienen límite finito.

 

Sucesiones divergentes


Son las que tienen límite infinito (+∞ ó − ∞).

 

Sucesiones oscilantes


No son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.
1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...

 

Sucesiones alternadas


Son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser:

 

Convergentes


1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..
Tantos los términos pares como los impares tienen de límite 0.

 

Divergentes


1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ...
Tantos los términos pares como los impares tienden de límite +∞.

 

Oscilantes


−1, 2, −3, 4 ,−5, ..., (−1)n n

Como factorizar diferencias de cubos

Diferencia de cubos
 
Se llama diferencia de cubos a un binomio de la forma a3 – b3 en donde a y b son números reales. Las siguientes expresiones son ejemplos de diferencias de cubos:
1) 27 – x3
 
2) m6 – n9
 
3) a12 – 1
 
Factorización de una diferencia de cubos
 
La factorización de una diferencia de cubos a3 – b3 es el producto de un binomio y un trinomio a3 – b3= (a – b ) ( a2+ ab + b2)
 
 
El binomio es la diferencia de las raíces cúbicas de cada término de la
diferencia de cubos y el trinomio es muy semejante a un trinomio cuadrado
perfecto, pero el término cruzado no es multiplicado por dos.

Propiedades de los limites

Si b y c son números reales y n es un entero, entonces decimos que límite de b (lim b=b x--->c)

Ejemplo:
lim k=k
x--->a

lim 8=8
x--->4

lim -3=-3
x--->0

lim 22=22
x--->-3

Limite de x=c
lim x=c
x--->c

Ejemplo:

lim x=3
x--->3

lim x=-4
x--->-4

lim x=3/5
x--->3/5

Elevado a una potencia

lim x^n=c^n
x--->c

Ejemplo:

lim x^3=(2)^3=8
x--->2

lim x^4=(2)^4=(2)(2)(2)(2)=16
x--->2

lim x^3=-27
x--->-3

Si b y c son números reales, n es un entero positivo y f y g son funciones que tienen límite cuando x--->c entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1.-Multiplo Escalar- lim [b (f(x))]=b [lim f(x)]
                                  x--->c            x--->c
2.-Suma o Diferencia- lim [f(x)+-g(x)]= lim f(x) +- lim g(x)
                                     x--->c                  x--->c        x--->c
3.-Producto- lim[f(x) o g(x)]=[lim f(x)] [lim g(x)]
                     x--->c                 x--->c       x--->c
4.-Cociente- lim f(x)/g(x)= lim f(x)/lim g(x)
                     x--->c             x--->c   x--->c
5.-Potencia- lim [f(x)]^n= [lim f(x)]^n
                     x--->c            x--->c

Ejemplo: lim (4x^3+2x^2+x+2)
                x--->2
lim 4x^3 + lim 2x^2 + lim x+ lim 2
x--->2        x--->2        x-->2   x--->2

lim 4(2)^3 + lim 2(2)^2 + lim (2) + lim 2
x--->2           x--->2           x--->2     x--->2

4(8) + 2(4) + 2 + 2

32 + 8 + 2 + 2= 44

Limites Laterales

Diremos que el limite de f(x) cuando x tiende hacia "a" por la izquierda es "L"

lim f(x)=L
x---> a-

Diremos que el elimite de f(x) cuando x tiende hacia "a" por la derecha es "L"

lim f(x)=L
x--->a+

Ejemplo

f(x)={x^2 si x<2}
         {4 si x>2}



lim f(x)=x^2                  lim f(x)=4
x---> 2-                          x--->2+
f(x)=4                            =4                               
f(x)

L=a+
x--->2, es L=4
L=4

Limites



El limite de una funcion f(x) en el punto Xo es el valor al que se acercan las imagenes (las  y) cuando los originales (las x) se acercan al valor Xo es decir el valor al que tienden las imagenes cuando los originales tiended a Xo.

http://hotmath.com/images/gt/lessons/genericalg1/parabola.gifLimite de la funcion f(x)=x^2
en Xo=2

 X         f(x)
1.9       3.61
1.99     3.9601
1.999   3.996001
1.9999 3.99960001
2          4


Se dice que la funcion f(x) tiene como limite el numer L cuando x tiende a Xo, si fijando un número real positivo, mayor que cero, existe un número positivo, dependiente del número real, tal que para todos los valores de x distintos de Xo que cunplan la condicion |f(x)-L| < R

Podemos definir el concepto de limite con la siguiente formula:
lim f(x)=L
x--->Xo

lunes, 14 de octubre de 2013

Tipos de funciones

Función Inyectiva

En algebra abstracta, una funcion f: X --> Y es inyectiva si a elementos distintos del conjunto X (dominio) les corresponden elementos distintos del conjunto Y (imagen) de f. Es decir, cada elemento del conjunyo Y tiene a lo sumo una antiimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales f: R --> R, dada por f(x)= x^2 no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f(-2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función g: R+ --> R+ entonces si se obtiene una función inyectiva.

Función Suprayectiva

En, matemática, una función f: X --> Y es suprayectiva, si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como minimo un elemento de "X".

Función Biyectiva

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva; es decir si todos los elementos del conjunto de sálida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de sálida.

Funciones Trascendentes.- Conceptos y cuales son

La variable independiente figura como exponente o como indice de la raiz o se alla afectada del signo logaritmico o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometria.

Funcion exponencial
f(x)=a^x; sea a un numero real positivo. La funcion que a cada numero real x le hace corresponder la potencia a^x se llama funcion exponencial

La funcion logaritmica en base a es la funcion inversa de la exponencial en base a f(x)=Log ax

Funciones Trigonometricas
f(x)= sen x = funcion seno
f(x)= cos x = funcion coseno
f(x)= tg x = funcion tangente
f(x)= cosec x = funcion cosecante
f(x)= sec x = funcion secante
f(x)= cotg x = funcion cotangente

Funciones inversas.- Concepto y pasos

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.
Diagramas
Podemos observar que:
El dominio de f−1 es el recorrido de f.
El recorrido de f−1 es el dominio de f.
Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.
Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.
(f o f −1) (x) = (f −1 o f) (x) = x
Las gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Gráfica
Ejemplos:
1.- f(x)= 3x+2

X  Y
-2 -4
-1 -1
 0  2
 1  5
 2  8
 3 11
 4 14
 
 2.- f(x)= 6x^2+7+2

X   Y
-3  63
-2  33
-1  15
 0   9
 1  15
 2  33
 




Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función, inversa.
Cálculo de la función inversa
1Se escribe la ecuación de la función con x e y.
2Se despeja la variable x en función de la variable y.
3Se intercambian las variables.
Calcular la función inversa de:
función
operaciones
operaciones
operaciones

operaciones
 Vamos a comprobar el resultado para x = 2
operaciones
operaciones
función inversa
función inversa


función inversa

función inversa













función inversa
función inversa